设随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)=1/2(x+y)e^-(x+y),x>0,y>0求Z=X+Y的概率密度函数
Z=X+Y的概率密度。Z的cdf
F(z)=P(Z<=z) = P(X+Y<=z) = ∫∫_(x+y<=z) f(x,y) dxdy
=(1/2) ∫_(0<=x<=z) dx ∫_(0<=y<=z-x) (x+y) exp(-x-y) dy
=(1/2) ∫_(0<=x<=z) { x[exp(-x)-exp(-z)] +∫_(0<=y<=z-x) y d[-exp(-x-y)] } dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z) { x[exp(-x)-exp(-z)]- yexp(-x-y)|_(y=0)^(y=z-x)+∫_(0<=y<=z-x) exp(-x-y)dy} dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z) { x[exp(-x)-exp(-z)]- (z-x)exp(-z)+exp(-x) - exp(-z) } dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z) [ x exp(-x) - z exp(-z) + exp(-x) - exp(-z) ] dx
=(1/2){ ∫_(0<=x<=z) x d[-exp(-x)] - z^2 exp(-z) + 1 - exp(-z) - z exp(-z) }
=(1/2){ -x exp(-x)|_(x=0^(x=z)+ ∫_(0<=x<=z) exp(-x) dx - z^2 exp(-z) + 1 - exp(-z) - z exp(-z) }
=(1/2){ -z exp(-z) + 1- exp(-z) - z^2 exp(-z) + 1 - exp(-z) - z exp(-z) }
=(1/2)[ 2 - z^2 exp(-z) - 2z exp(-z) - 2exp(-z) ] (z>0)
历史发展
正态分布概念是由法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）于1733年首次提出的，后由德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
(x+y)e∧-(x+y)，
不可以表示成x和y的函数的乘积形式，所以，X、Y不是独立的。
Z=X+Y的概率密度。Z的cdf
F(z)=P(Z<=z)
=
P(X+Y<=z)
=
∫∫_(x+y<=z)
f(x,y)
dxdy
=(1/2)
∫_(0<=x<=z)
dx
∫_(0<=y<=z-x)
(x+y)
exp(-x-y)
dy
=(1/2)
∫_(0<=x<=z)
{
x[exp(-x)-exp(-z)]
+∫_(0<=y<=z-x)
y
d[-exp(-x-y)]
}
dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z)
{
x[exp(-x)-exp(-z)]-
yexp(-x-y)|_(y=0)^(y=z-x)+∫_(0<=y<=z-x)
exp(-x-y)
dy}
dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z)
{
x[exp(-x)-exp(-z)]-
(z-x)exp(-z)+exp(-x)
-
exp(-z)
}
dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z)
[
x
exp(-x)
-
z
exp(-z)
+
exp(-x)
-
exp(-z)
]
dx
=(1/2){
∫_(0<=x<=z)
x
d[-exp(-x)]
-
z^2
exp(-z)
+
1
-
exp(-z)
-
z
exp(-z)
}
=(1/2){
-x
exp(-x)|_(x=0^(x=z)+
∫_(0<=x<=z)
exp(-x)
dx
-
z^2
exp(-z)
+
1
-
exp(-z)
-
z
exp(-z)
}
=(1/2){
-z
exp(-z)
+
1-
exp(-z)
-
z^2
exp(-z)
+
1
-
exp(-z)
-
z
exp(-z)
}
=(1/2)[
2
-
z^2
exp(-z)
-
2z
exp(-z)
-
2exp(-z)
]
(z>0)
所以，概率密度
f(z)
=
F'(z)
=
(1/2)
[z^2
exp(-z)
-
2z
exp(-z)
+
2z
exp(-z)
-
2exp(-z)
+
2exp(-z)
]
=
(1/2)
z^2
exp(-z)
(z>0)
所以，Z服从Gamma(3,1)
分布追问我想知道f(x,y)=1/2(x+y)e∧-(x+y)，可以得到X和Y的边缘概率密度不
回答当然可以啊，
f(x)
=
∫
f(x,y)
dy
,
f(y)
=
∫
f(x,y)
dx。只要注意积分区域或上下限就好。
不过这题积分求边缘密度很容易，上下限很明显。
追问不过我这个
f(x)
=
∫
f(x,y)
dy
,
f(y)
=
∫
f(x,y)
dx不会啊，别的还会，但是又有X和Y我就糊涂了
|_(y=0)^(y=z-x)
这是什么意思啊
回答|_(y=0)^(y=z-x)
表示上下限，下限y=0，上限y=z-x
f(x)
=
∫
f(x,y)
dy
对y积分，就把
x
作常数对待，
f(y)
=
∫
f(x,y)
dx
对x积分，就把
y
作常数对待。
方法2：设v=x+y，用卷积公式求出v的概率密度，再用一元随机变量的函数的分布公式求出1/2(x+y)的概率密度
