Question

已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且limx->0f(x)/1-cosx=2,则在x=0处f(x)？

Answer 1

证明：由(x→0)limg(x)/x=-1
（极限为-1,分母趋于0,则分子必趋于0）
可知(x→0)limg(x)=0
即g(0)=0
于是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1
则g(x)在该邻域内可导且g'(0)=-1
(x→0)limf(x)/g²(x)=2
因为(x→0)limg²(x)=0
则(x→0)limf(x)=0
f(0)=0
对(x→0)limf(x)/g²(x)=2进行变形
(x→0)limf(x)/g²(x)
=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x)
（变成两个极限之积,并对右边的极限用洛必达法则）
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)
=2
因此f(x)=2x²+o(x)
于是可以得到(x→0)limf(x)/x=0
即f'(0)=0
即证

Answer 2

由于1-cosx在x=0的左邻域与右邻域内都有limx→0
1-cosx>0
由保号性与连续性可知邻域内的点有limx→0
f(x)=f(x)>0=f(0)
即f(0)是极小值点
由极小值的定义如下：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
看了他们的答案好像都用到了导数，实际这题考察的是极值的原始定义

Answer 3

limx->0f(x)/(1-cosx)=2
∵x->0分母1-cosx→0
极限=2，f(0)→0
洛必达法则
lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0，分母依旧为0，极限存在，f'(0)=0
继续求导：=lim(x->0)f''(0)/cos0=2
∴f''(0)=2>0
∴f(0)=0为极小值。

Answer 4

首先
有f(0)
=
0;
等价无穷小
1-cosx
~1/2x2
lim
x->0
(f(x)-f(0))/(x-0)
=
lim
x->0
x
*
f(x)/x2
=
0
所以f'(0)
=
0;
lim
x->0
((f(x)-f(0))/(x-0)
-f'(0))/(x-0)
=
f''(x)
=
lim
x->0
f(x)
/x2
=1>0;
显然因为
f'(0)
=
0;
f''(0)>0。所以在x=0处有极小值！
纯手打，有bug的地方请提出，水平有限有误地方请见谅
谢谢！

Answer 5

x→0时cosx→1，
∴由lim
f(x)/(1-cosx)=2,得lim
f(x)=0,
f(x)在x=0的某邻域内连续,
∴f(0)=0.
这里，没有取极小值。