Question

关于椭圆的一道选择题

椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a,0),B(0,b)的直线的距离等于b/√7,则椭圆的离心率为( ).
A.1/2 B.4/5 C.(7-√7)/6 D.(7+√7)/6
麻烦帮我选出选项,写出过程哈,我想弄懂,谢谢!!

Answer 1

选 A
截距式写出 AB方程 ： x/(-a) + y/b = 1 ---- bx - ay + ab = 0

点到直线距离公式： |-cb+ab|/√（a^2+b^2) = b/√7

化简：7（a-c)^2 = a^2 +b^2 = 2a^2 -c^2

5a^2 -14ac+8c^2 = 0 (5a-4c)(a-2c)=0

a = 4c/5 (椭圆a>c，舍去) a = 2c 所以 e = 1/2

Answer 2

过F作FM垂直AB于M，三角形AMF,AOB相似，得
|FM|/|AO|=|AF|/|AB|,即（b/√7)/b=(a-c)/√(a^2+b^2)=√7
7（a-c)^2 = a^2 +b^2 = 2a^2 -c^2
5a^2 -14ac+8c^2 = 0 (5a-4c)(a-2c)=0
a = 4c/5 (椭圆a>c，舍去) a = 2c 所以 e = 1/2