Question

初中数学命题与证明 等腰三角形

如图所示主，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点，以p为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F，连结EF，当＜EPF绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），直角三角形PEF也始终是等腰三角形，请说明理由。

Answer 1

如图，连接AP

由已知得AP=CP，∠1=∠C

∵∠3=90°-∠4，∠2=90°-∠4

∴∠2=∠3

∴△AEP≌△CFP（角边角）

∴PE=PF

∴三角形PEF始终是等腰直角三角形

Answer 2

证明：
延长FP，并作BK‖AC交FP于K点，连结EK
CF‖BK→∠PBK=∠PCF
→∠PFC=∠PKB →△BPK≌△CFP→KP=FP
→PB=PC

KP=FP →
EK=FE，∠EKP=∠EFP=θ，∠KEP=∠FEP=γ
EP⊥KF →

在四边形BKFA中，已知∠A=∠ABK=90°
有∠PFA+∠PEA=180°=∠PEA+∠PEB=∠PEB+∠PKB
即∠PEB=∠PFA
∠PEA=∠PKB
又∠EPK=∠EPF=90°，则四边形PKBE有外接圆⊙A，四边形PFAE亦有外接圆⊙B
又⊙A直径EK=⊙B直径EF
即有
四边形PFAE≌四边形PFAE
根据边角对应关系有PE=PF

Answer 3

给点面子 好歹是好友
证明：
延长FP，并作BK‖AC交FP于K点，连结EK
CF‖BK→∠PBK=∠PCF
→∠PFC=∠PKB →△BPK≌△CFP→KP=FP
→PB=PC

KP=FP →
EK=FE，∠EKP=∠EFP=θ，∠KEP=∠FEP=γ
EP⊥KF →

在四边形BKFA中，已知∠A=∠ABK=90°
有∠PFA+∠PEA=180°=∠PEA+∠PEB=∠PEB+∠PKB
即∠PEB=∠PFA
∠PEA=∠PKB
又∠EPK=∠EPF=90°，则四边形PKBE有外接圆⊙A，四边形PFAE亦有外接圆⊙B
又⊙A直径EK=⊙B直径EF
即有
四边形PFAE≌四边形PFAE
根据边角对应关系有PE=PF

Answer 4

连结AP。容易知道AP⊥BC，又知 ，∠EPF=90°，可知，∠APE=∠CPF，易知∠PAE=∠C=45°，PA=CP，可知△AEP≌△CFP，从而PE=PF