Question

如图，已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度

Answer 1

解：图2成立；图3不成立．
图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
∴△DME≌△DNF，
∴S
△DME
=S
△DNF
，
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，
由以上可知S
四边形DMCN
=S
△ABC
，
∴S
△DEF
+S
△CEF
=S
△ABC
．
图3不成立．
证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）
S
△DEF
=S
△DBF
+S
四边形DBFE
，
=S
△DEC
+S
四边形DBFE
，
=S
五边形DBFEC
，
=S
△CFE
+S
△DBC
，
=S
△CFE
+，
∴S
△DEF
﹣S
△CFE
=．
故S
△DEF
、S
△CEF
、S
△ABC
的关系是：S
△DEF
﹣S
△CEF
=S
△ABC
．

Answer 2

如图,已知Rt三角形ABC中,AC=BC,角C=90度,D为AB边的中点,角EDF=90度,角EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC,CB(或它们的延长线)于E,F,当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时,易证S三角形DEF+S三角形CEF=1/2S三角形ABC,当角EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S三角形DEF,S三角形CEF,S三角形ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

Answer 3

在图2中
S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2
仍然成立
证明：
连接CD
∵Rt△ABC中，AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形
又∵D为AB边的中点
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°
又∵∠EDF＝90°
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF
∴△CDE≌△BDF
∴S△CDE=S△BDF
∴S△DEF＋S△CEF=S△CDE＋S△CDF=S△BDF＋S△CDF=S△BCD=S△ABC/2
得证
在图3中
S△DEF＋S△CEF＝S△ABC/2
不成立
猜想
S△DEF-S△CEF＝S△ABC/2
证明：
连接CD
同理易得
△CDE≌△BDF
∴S△CDE=S△BDF
∴S△DEF=S多边形CEFBD
∴S△DEF-S△CEF=S△BCD=S△ABC/2
得证

Answer 4

已知RT△,角c=90°AC=BC,D为AB的中点,角edf的顶点在ab中点上且角edf=90°，当∠edf绕点d旋转时与ac边交于h，与bc边交于r，（1）说明dh与dr的数量关系