Question

在三角形ABC中，a²tanB=b²tanA，确定三角形形状。

Answer 1

利用正弦定理可知：
a²tanb=b²tanb可以化为:a²sinb/cosb=b²sina/cosa,即：a²b/cosb=b²a/cosa。
利用余弦定理化简得：acosa=bcosb,即：a(b²+c²-a²)/2bc=b(a²+c²-b²)/2ac。
化简得：（a²-b²）c²=(a²+b²)(a²-b²).
所以a=b或a²+b²=c²,即三角形为等腰三角形或直角三角形。

Answer 2

a²tanB=b²tanA
根据
正弦定理
a=2RsinA,b=2RsinB
∴sin²A*sinB/cosB=sin²B*sinA/cosA
∵sinA≠0,sinB≠0
∴sinA/cosB=sinB/cosA
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=180º
∴A=B或a+B=90º
∴三角形是
等腰三角形
或是
直角三角形