Question

在（3x+y）的七次方的二项展开式.中求展开式各 项系数的和 展开式中系数最大的项和二项式系数最

Answer 1

(3x+y)⁷的二项展开式中，
（1）求展开式各项系数的和，就是令x=y=1，得4⁷。
（2）求展开式中系数最大的项，可设其为第r+1项，利用第r+1项的系数既不小于第r项的系数，也不小于第r+2项的系数，可解出r的值，进而用展开式的通项公式可求得该项，你自己可求出。
（3）二项式系数最大的项居中，(3x+y)⁷的展开式共有8项，二项式系数最大的项第4和第5项，用展开式的通项公式可求得，你自己可求出。

Answer 2

解：∵末三项的二项式系数分别为c
n
n-2
，c
n
n-1
，c
n
n
∴c
n
n-2
+c
n
n-1
+c
n
n
=121
∴c
n
2
+c
n
1
+c
n
0
=121即n
2
+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
∴t
r+1
=c
15
r
（3x）
r
=c
15
r
3
r
x
r
设第r+1项与第r项的系数分别为t
r+1
，t
r
令t
r+1
=c
15
r
3
r
，t
r
=c
15
r-1
3
r-1
∴t
r+1
≥t
r
则可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴当r取小于12的自然数时，都有t
r
＜t
r+1
当r=12时，t
r+1
=t
r
∴展开式中系数最大的项为t
12
=c
15
11
3
11
x
11
和t
13
=c
15
12
3
12
x
12