Question

已知x,y属于(0,正无穷)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值

Answer 1

解：可以设K=x+y，则得：y=K-x，代入已知得
2x+8(K-x)-x(K-x)=0
整理，得：
x²-(K+6)x+8K=0
由于存在正数x，使得上述方程成立，所以其判别式必定是非负数，即：
△=[-(K+6)]²-4×8K≥0
K²+12K+36-32k≥0
K²-20K+36≥0
(K-2)(K-18)≥0·············①
因x、y均为正数，所以再由2x+8y-xy=0得：2(x+y)=xy-6y=y(x-6)>0，即：x-6>0，得：x>6，所以K=x+y>6，K-2>0；
则不等式①解只能是：K≥18，所以x+y的最小值为18。
此时求得：x=12，y=6。利用重要不等式的性质
x,y>0,2x+8y=xy则2/y
+
8/x
=1则x+y=(x+y)(2/y
+
8/x
)
=2x/y
+8y/x
+10
>
=8+10=18(均值不等式）
（当2x/y=8y/x即x=12,y=6时取=）