Question

lim(a^n+b^n+c^n)^1/n=？？ n趋近与无穷大

Answer 1

a^n+b^n+c^n)^1/n
=exp{(1/n)In(a^n+b^n+c^n)}
lim(1/n)In(a^n+b^n+c^n)
=lim[In(a^n+b^n+c^n)]/n
=lim
1/(a^n+b^n+c^n)
=0
lim(a^n+b^n+c^n)^1/n
=e^lim(1/n)In(a^n+b^n+c^n)
=e^0
=1
2楼大哥，别误导人家！1楼正解。取a、b、c中最大的那个数。设极限为m=max〔a，b，c〕
原式=lim
e^ln[(a^n+b^n+c^n)^1/n]
=lim
e^[1/n*ln(a^n+b^n+c^n)]
现在求1/n*ln(a^n+b^n+c^n)的极限
lim
1/n*ln(a^n+b^n+c^n)
=lim
ln(a^n+b^n+c^n)/n
=lim
[(a^n*lna+b^n*lnb+c^n*lnc)/(a^n+b^n+c^n)]/1
罗比达法则
=lim
(a^n*lna+b^n*lnb+c^n*lnc)/(a^n+b^n+c^n)
不妨设a是a是最大的，分子分母同时除以a^n
=lim
[lna+(b/a)^n+(c/a)^n]/[1+(b/a)^n+(c/a)^n]
=lna
设X=(a＾n
+b＾n
+c＾n)＾1/n，两边同时n次方，再除以a、b、c中最大的那个数，由此易得X=max〔a，b，c〕。就是最大的那个。

Answer 2

原式=lim
e^ln[(a^n+b^n+c^n)^1/n]
=lim
e^[1/n*ln(a^n+b^n+c^n)]
现在求1/n*ln(a^n+b^n+c^n)的极限
lim
1/n*ln(a^n+b^n+c^n)
=lim
ln(a^n+b^n+c^n)/n
=lim
[(a^n*lna+b^n*lnb+c^n*lnc)/(a^n+b^n+c^n)]/1
罗比达法则
=lim
(a^n*lna+b^n*lnb+c^n*lnc)/(a^n+b^n+c^n)
不妨设a是a是最大的，分子分母同时除以a^n
=lim
[lna+(b/a)^n+(c/a)^n]/[1+(b/a)^n+(c/a)^n]
=lna

Answer 3

证明：令{(a^n+b^n+c^n)/3}^1/n=u，则lnu=(1/n)*ln((a^n+b^n+c^n)/3)=ln((a^n+b^n+c^n)/3)/n。而limln((a^n+b^n+c^n)/3)/n=lim(3/(a^n+b^n+c^n))*((a^n*lna+b^n*lnb+c^n*lnc)/3)=(3/(1+1+1))*((lna+lnb+lnc)/3)=(lna+lnb+lnc)/3。
即：lim(lnu)=(lna+lnb+lnc)/3。所以limu=e^((lna+lnb+lnc)/3)=(e^(lna+lnb+lnc))^(1/3)==（a*b*c)^1/3。完毕。

Answer 4

设X=(a＾n
+b＾n
+c＾n)＾1/n，两边同时n次方，再除以a、b、c中最大的那个数，由此易得X=max〔a，b，c〕。就是最大的那个。