Question

复变函数求留数Res(sin1/z,0）的值，速度求

Answer 1

z=-1
是该函数的二级极点，根据书上的M级极点的留数公式，Res(f(z),-1)=z趋近于-1时(z+1)^2*f(z)对z的一阶导数，结果是-（1/Z^2）cos(1/z)在z=-1时的取值，答案是-COS1.。

Answer 2

留数是洛朗展式中-1次方项的系数
1、sin(1/z)=1/z
-
1/(3!z³)
+
...
+
(-1)^n/[(2n+1)!z^(2n+1)]+...
若n为奇数，则z^n与上式相乘后没有1/z这一项，因此留数为0
若n为偶数，则z^n与上式相乘后1/z这一项的系数为：(-1)^(n/2)/(n+1)!
2、不知你写的是sin(z/(z-1))，还是sin(z/(z+1))，我按z-1算
孤立奇点为z=1
sin(z/(z-1))=sin(1+1/(z-1))=sin1cos(1/(z-1))+sin(1/(z-1))cos1
cos(1/(z-1))展式中没有1/(z-1)这一项，
sin(1/(z-1))=1/(z-1)
-
(1/3!)(1/(z-1)²)
+
....
因此sin(1/(z-1))的展式中1/(z-1)系数为1，再乘以cos1，因此本题留数为cos1
希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 3

z＝0是本性奇点
Res(sin 1/ z，0)＝1