Question

导数题求解

Answer 1

(1)f(x)=(lnx+m)/e^x+n
f'(x)=[e^x/x-e^x(lnx+m)]/e^2x
=(1-xlnx-mx)/xe^x
f(1)=m/e+n=1
f'(1)=(1-m)/e=0
∴m=1,n=1-1/e
(2)f'(x)=(1-xlnx-x)/xe^x,x＞0
当f'(x)≥0时，1-xlnx-x≥0
设g(x)=1-xlnx-x
g'(x)=-lnx-2
易得g(x)在(0,e^(-2))上单调递增，在(e^(-2),+无穷)单调递减
∴g(e^(-2))=1+2e^-2-e^-2=1+e^(-2)＞0
当x＜e^(-2)＜1时，1-x＞0,-xlnx＞0
∴g(x)＞0
当x＞e^(-2)时
g(1)=1-1=0
∴x＞1时，g(x)＞0
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+无穷)上单调递减
(3)F(x)=exf'(x)=(1-xlnx-x)/e^(x-1)
由(2)知:g(x)=1-xlnx-x≤1+e^(-2)
又0＜1/e^(x-1)＜e
∴x＞0时，F(x)＜e+1/e