Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ．且满足 a 1 = 1 2 ， a n =-2 S n S n-1 (n≥2)

已知数列{a n }的前n项和为S n ．且满足 a 1 = 1 2 ， a n =-2 S n S n-1 (n≥2) （1）证明：数列{ 1 S n }为等差数列；（2）求S n 及a n ．

Answer 1

解（1）当n≥2时，a
n
=S
n
-S
n-1
=-2S
n
?S
n-1
，
∴
1
S
n
-
1
S
n-1
=2(n≥2)
，
∴
{
1
S
n
}
是以
1
S
1
=
1
a
1
=2
为首项，2为公差的等差数列．
（2）∵数列{
1
S
n
}为等差数列，
∴
1
S
n
=2+2(n-1)=2n
，
即
S
n
=
1
2n
．
当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n-1
=
1
2
(
1
n
-
1
n-1
)=-
1
2n(n-1)
，
∴
a
n
=
1
2
-
1
2n(n-1)
(n=1)
(n≥2)
．