Question

已知数列{an}满足a1=1/3.a2=7/9.a[n+2]=4/3a[n+1]-1/3an

1.求数列{an}的通项公式 2.求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

3*a(n+2)-4*a(n+1)+an=0,
特征方程3x^2-4x+1=0两特征根为x=1或1/3..
这样有3a(n+2)-a(n+1)=3a(n+1)-an,
继续写,有3a(n+1)-an=3an-a(n-1)=…=3a2-a1=7/3-1/3=2,
因此对于任意的正整数n,有3a(n+1)-an=2,
3*a2=a1+2,
3^2*a3=3*a2+2*3,
3^3*a4=3^2*a3+2*3^2,
…
3^(n-1)*an=3^(n-2)*a(n-1)+2*3^(n-2),
对于n>2,将各式相加,有:
3^(n-1)*an=a1+2[1+3+…+3^(n-2)]=1/3+3^(n-1)-1=3^(n-1)-2/3,
an=1-2/(3^n),
经检验,a1,a2均满足该公式,
因此,对于任意的正整数n,有an=1-2/(3^n)..
Sn=a1+…+an=[1-2/(3^1)]+…+[1-2/(3^n)]
=n-2/3*(1-1/3^n)/(1-1/3)=n-1+1/(3^n)..