Question

已知函数y=√1-x+√x+3的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为啊啊啊啊啊...

已知函数y=√1-x+√x+3的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊yongyifang963那些我还没学到呢

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

你上高中了,第一个方法怎么会没有学习呢?三角代换没有学习吗?
初等办法一：y=√1-x+√x+3
两边同时除以y
(y≠0想想为什么?)变为1=√(1-x)/y
+√（x+3）/y
到此就可以知道怎么用三角代换了,令√(1-x)/y
=sin²a,（主要是使用1=sin²a
+
cos²a）
√（x+3）/y=cos²a
两个式子平方去掉根号后再相加,化简后有,4=y²（1-2sin²acos²a）于是Y²=4/（1-2sin²acos²a）=4/[1-（sin²2a）/2)],当sin²2a=1时（也就是a=45°,取最大值）y²=8
于是
M=y=2√2
,当sin²2a=0时
（也就是a=0°,取最小值）y²=4
于是
m=y=2
所以结果为
m/M=1/√2
又想出几种初等方法,这些都是利用三角函数的有界性求出最大值最小值的,所谓初等方法就是没有使用高等数学的知识,高中生能懂得.
办法2：由于y=√1-x+√x+3的定义域为{x|-3≤x≤1}.所以考虑变量替换令
x=-3+4sin²a
其中a∈[0°,90°]即x∈[-3,1]
于是将x代入y=√1-x+√x+3
中,有
y=2cosa
+2sina=2（cosa+sina）=2√2cos(a-45°)（其中
-45°≤a-45°≤45°）所以最大值为2√2
,最小值为2
注意
本来sina、cosa要带绝对值的,但是a∈[0°,90°],所以它们都是非负数
这个方法总结如下：当x∈[a,b]
求y=√b-x+√x-a
的最大值和最小值时,可以令x=a-(a-b)sin²q
其中
q∈[0°,90°],因为这样刚好可以去掉根号,而且x的取值范围也没有改变.
办法3：用微分法,求一阶导数求出驻点和导数不存在的点
为x=-3
,x=-1,x=1
这些点都在本函数的定义域-3≤x≤1内
,且在定义域内函数是连续的,所以根据闭区间上的连续函数有最大值和最小值的定理就知道
最后只需要
比较函数在这三个点处的值就能找出最大值为2√2
,最小值为2,所以m/M=1/√2