Question

求解高数题目

Answer 1

不妨令a＜b

(e^b–e^a)/(b–a)＜(e^a＋e^b)/2

两边同乘以(b–a)，得

e^b–e^a＜[(e^a＋e^b)/2] ·(b–a) ①

设函数y=e^x上的有点A(a，e^a)，B(b，e^b)

y''=e^x＞0，所以函数y=e^x为凹函数

设线段AB中点为M(p，q)

则p=(b＋a)/2，q=(e^a＋e^b)/2

做出图像如下所示:

则所要证明的①式就是

∫(a，b) e^xdx＜S(矩形DEFH)

等价于

S(弧ANB与AC，BC围成图形)＜S(矩形EACD)    ②

由于M为AB中点

所以S(矩形EACD)=SΔABC

由于y=e^x为凹函数

所以S(弧ANB与AC，BC围成图形)＜SΔABC

②式得证

所以题目所要证明的成立

Answer 2

因为对称，不妨设 b > a.
(e^b - e^a)/(b-a) < (e^b+e^a)/2
两边除 e^a: (e^(b-a) - 1)/(b-a) < (e^(b-a) + 1)/2
令 x = b-a > 0
即证: (e^x - 1)/x < (e^x + 1)/2
==> 2e^x - 2 < x e^x + x
==> (2-x)e^x - x < 2
设 y = (2-x)e^x - x
y' = e^x (1-x) -1
y'' = e^x (-x) < 0, y' < y'(0) = 0
所以y单调减。又因为 y(0) = 2, 所以 y < y(0)。由此证明了：(2-x)e^x - x < 2
递推回去证得：(e^b - e^a)/(b-a) < (e^b+e^a)/2

Answer 3