Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）...

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*． （I）求数列{an}的通项公式； （II）设数列{bn}满足an(2bn-1)=1，记Tn为数列{bn}的前n项和．求证：2Tn+1＜log2（an+3）

Answer 1

（I）解：n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，
∵a1=2，
∴an=3n-1．
（II）证明：∵数列{bn}满足an(2bn-1)=1，
∴bn=log23n3n-1
∴Tn=b1+b2+…+bn=log2(32×65×…×3n3n-1)
要证2Tn+1＜log2（an+3），即证2log2(32×65×…×3n3n-1)+1＜log2（an+3）
即证(32×65×…×3n3n-1)2＜3n+22
即证2(32×65×…×3n3n-1)23n+2＜1
令cn=2(32×65×…×3n3n-1)23n+2，
∴cn+1cn=9n2+18n+99n2+21n+10＜1
∵cn＞0，∴cn+1＜cn，
∴{cn}是单调递减数列
∴cn≤c1=2×(32)23×1+2=910＜1
∴cn=2(32×65×…×3n3n-1)23n+2＜1
故2Tn+1＜log2（an+3）．