Question

已知函数fx=2x/x∧2+1判断单调性做图像

Answer 1

设x1＜x2=2x1/x1^2-2x1/x2^2+1
=2x1(x2^2=1)-2x2(x1^2+1)/(x1^2+1)(x2^2+1)
=2x1x2(x2-x1)-2(x2-x1)/(x1^2+1)(x2^2+1)
=(x2-x1)(2x1x2-2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
f(x)=2x/(x²+1)
上下除以x
=2/(x+1/x)
则x>0,x+1/x≥2√(x*1/x)=2
x<0,则-x>0
所以-x+1/(-x)≥2√[(-x)*1/(-x)]=2
所以x+1/x≤-2
所以x+1/x≤-2，x+1/x≥2
所以-1/2≤1/(x+1/x)<0，0<1/(x+1/x)≤1/2
所以-1≤2/(x+1/x)<0，0<2/(x+1/x)≤1
且f(0)=0
所以值域[-1,1]
f(-x)=-2x/(x²+1)=-f(x)
且定义域是R，关于原点对称
所以是奇函数
f(x)==2/(x+1/x)
分母是对勾函数
则0<x,1,x+1/x是减函数，则2/(x+1/x)是增函数
同理，x>1,2/(x+1/x)是减函数
奇函数则对称区间内单调性相同
所以
x<-1,x>1是减函数
-1<x<1是增函数