Question

证明加法的交换律

定义自然数的加法a+b如下： a+0=a （若b=0） a+1 = a的后继 （若b=1） a+(n+1) = (a+n) + 1 （若b=n+1） 证明如上定义的自然数加法，据有交换率。

Answer 1

这个是个比较基础的问题。涉及数学基础上的一些概念，我只能说一个思路：
1.先搞清楚自然数是怎么定义的。(涉及到集合论，后继，序）
2.然后在定义的这个结构（自然数集）上定义一种运算（即一种2元函数）
定义方法如下：
f(a,1)=a'
a'即a的后继
f(a,0)=a
f(a,b)=f(b,a)
(即交换律是定义的)
f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c)
（即结合率）
3.然后证明这个定义是合理的，即按这种定义定义的2元函数存在且唯一。
4.最后验证这个定义恰好和我们平常的加法一样，也就是说加法具有交换律。
在更一般的数学结构（比如说群）上，交换律也一般作为定义或类似于公理的形式给出。当然类似的证明也是存在的，但是很麻烦。
或
数学归纳法
当n=0时
左边=m+0=m
右边=0+m=m
显然左边=右边
假设当n=k
k属于N时
等式成立
即m+k=k+m
则当n=k+1时
m+(k+1)={0
1
2
...
m+(k+1)-1}={0
1
...
m+k}(自然数定义构造)
(k+1)+m={0
1
2
...
(k+1)+m-1}={0
1
...
k+m}
根据假设则m+k=k+m
所以
m+(k+1)=(k+1)+m
所以对于所有的n属于N都有m+n=n+m
证毕
另附：2+3=5证明
因为：2
=
1
+
1；3
=
1
+
1
+
1；
5
=
1
+
1
+
1
+
1
+
1；
所以：
2
+
3
=
（1
+
1）
+
（1
+
1
+
1）
=
1
+
1
+
1
+
1
+
1
=
5；
证讫。
前面是
2、3、5的定义，后面是加法规则。由此可见，一个严格的证明要涉及自然数和加法的定义。
自然数的定义，可用（Giuseppe
Peano,1858～1932，意大利数学家，逻辑学家）公理：
自然数的集合
N
符合下面的公理：
公理
1：
1
为
N
的元素；（换言之，N
非空集）
公理
2：对于
N
的任一元素
n
存在唯一的
{n}，称之为其后继，其也为自然数，即也在
N
内。（同一元素，有同一后继。）
公理
3:
对于
N
的任一元素
n,
{n}
不是（或说，不等于）
1。（这样，N
至少有两个元素了。）
公理
4：N
内不同的元素，有不同的后继。（此公理确定
N
内不止两个元素。如其不然，1
的后继为
2，2
的后继也为
2，这符合前面三个公理，于是
N
仅有两个元素了。）
公理
5：（归纳公理）对于任何集合
M，如其满足如下两个条件：1）
1
是其元素；2）对于其任意元素
m，其后继
{m}也是其元素，则
M
已包含全部自然数
N。
公理
5
对全部自然数加以界定，是归纳法的基础。
在此五个公理的基础上，我们就有了
1、2、3、4、5、6、......，无非是命名的问题，或称记数法。
下面对加法（+）加以定义。加法施于自然数
N
的任意两个元素
n
和
m，满足如下条件：
1）n
+
1
=
{n};
2)
n
+
{m}
=
{n
+
m}
不难证明，这样的运算存在，而且唯一。继而，我们可一证明加法的交换律

Answer 2

加法交换律是实数集的一条公理
加法结合律可以用加法交换律证明
a*b-b*a=a*b-(b-a+a)(a-b+b)=a*b-(b-a)(a-b)-(b-a)b-a(a-b)-a*b=(a*b-a*b)+(b-a)(b-b)+a[(a-b)-(a-b)]=0
所以a*b=b*a(乘法交换律)
乘法结合律可以用乘法结合律证明