Question

高等数学定积分问题

求助各位高手，麻烦为小弟解题。求思路 不仅要答案，这类题目的答题重点-，或是是方法

Answer 1

1.观察上下限,左边是x到1,右边是1到1/x(反过来为1/x到1),注意到x->1/x,1->1,可用反函数解决
所以令t=1/x,那么x=1/t,dx=-dt/t^2
右边=∫[1,1/x]
dx/(1+x^2)=∫[1,t]
-dt/(t^2
*
(1+1/t^2))=∫[1,t]
-dt/(t^2+1)=∫[t,1]
dt/(1+t^2)
=∫[x,1]
dx/(1+x^2)
注∫[1,t]表示1到t的定积分,1是下限,t是上限
2.观察上下限,左边是0到π,右边是0到π(反过来为π到0),注意到0->π,π->0,可用一次函数解决
令t=π-x,那么x=π-t,
dx=-dt
左=∫[0,π]
xf(sinx)dx
=
∫[π,0]
-(π-t)f(sint)dt
=∫[0,π]
(π-t)
f(sint)dt
=π∫[0,π]
f(sint)dt
-∫[0,π]
tf(sint)dt=π∫[0,π]
f(sint)dt
-∫[0,π]
xf(sinx)dx
所以2∫[0,π]
xf(sinx)dx=π∫[0,π]
f(sint)dt
所以∫[0,π]
xf(sinx)dx=(π/2)∫[0,π]
f(sint)dt
=(π/2)∫[0,π]
f(sinx)dx