Question

已知f（x）=-13x3+12ax2+2x在区间[-1，1]上是增函数．（1）求...

已知f（x）=-13x3+12ax2+2x在区间[-1，1]上是增函数． （1）求实数a的范围A； （2）设关于x的方程f（x）=53x有两个非零实根x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+12≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）f（x）=-13x3+12ax2+2x的导数f′（x）=-x2+ax+2，
由f（x）在区间[-1，1]上是增函数，则f′（x）≥0在[-1，1]恒成立，
即x2-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，则1-a-2≤0且1+a-2≤0，
解得，-1≤a≤1，
则A=[-1，1]；
（2）假设存在实数m，使得不等式m2+tm+12≥|x1-x2|
对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．
关于x的方程f（x）=53x有两个非零实根x1、x2，
即有两个非零实根x1、x2是方程2x2-3ax-2=0的根，
即有△=9a2+16＞0，x1+x2=3a2，x1x2=-1，
|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=9a24+4，
由于a∈[-1，1]，则|x1-x2|取得最大值52．
即有m2+tm+12≥52对任意的t∈[-1，1]恒成立，
构造g（t）=m2+tm-2，则有g（-1）≥0，且g（1）≥0，
即有m2-m-2≥0且m2+m-2≥0，
即m≥2或m≤-1且-2≤m≤1，
解得，-2≤m≤-1．
则存在实数m∈[-2，-1]，使得不等式m2+tm+12≥|x1-x2|
对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．