Question

0到2π t(1-cost)²dt的定积分

一道定积分计算的题,
题如下：
∫(1-cosx)²乘以二次根号下1-cosx dx
没算出来,
PS：用到什么三角函数的公式请列出,换元设什么为t也请都说清楚,
x的取值范围 0--2π

Answer 1

x=a(t-sint),y=a(1-cost)
∫{t=0,2π}y²ds
=∫{t=0,2π}a²(1-cost)²√[a²(1-cost)²+a²sin²t]dt
=2a³∫{t=0,2π}(1-cost)²sin(t/2)dt
=16a³∫{u=0,π}(sinu)^5du
=16a³*2*4/5*2/3
=256a³/15