Question

lim_(x->oo)(tanx-sinx)/x

要上面这道题的详细解题过程，谢谢

Answer 1

楼主是指趋近于无穷大吗?(如果题目改成x趋近于0，那么所求极限显然为0，因为根据Taylor(泰勒)展开，tanx-sinx在x->0时候为x高阶小量。)
[当x->无穷时]以下是详细过程，过程严密、没有逻辑问题，请耐心阅读:
事实上sinx/x的部分与函数极限的敛散无关(定理简述:发散函数与收敛函数的和函数发散，而两收敛函数的和函数收敛于两者极限之和)，事实上:
lim_(x->oo)(sinx/x)=
0。
那么在此我们仅需要讨论tan部分(的敛散性):lim_(x->oo)(tanx/x)=
?
对于任意给定的(大)实数M>0，令:(其中[·]表示取某数的整数部分)
x'=2π[M+1]+arctan(2π[M+1]+π);
x''=2π[M+1]
那么我们有|x'|,|x''|
>
M(事实上x',
x''
>
M):
tanx'=2π[M+1]+π，而x'<=2π[M+1]+π/2<2π[M+1]+π，所以tanx'/x'大于1
tanx''=0，所以tanx''/x''等于0
这样:|tanx'/x'
-
tanx''/x''|
>
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根据柯西收敛定理的否定形式直接得到该极限不存在，因此原极限不存在。
附录Cauchy收敛定理及其否定形式:
[1]x->无穷大时候函数f(x)极限存在
<=>
对任意给定的实数ε>0，存在M(>0)，对任意两个实数x',x''使得|x'|,|x''|>M，都有|f(x')
-
f(x'')|<ε
[2]x->无穷大时候函数f(x)极限不存在
<=>
存在实数ε>0，对任意M(>0)，都存在两个实数x',x''使得|x'|,|x''|>M，却有|f(x')
-
f(x'')|>=ε
注:本题中我们使用[2]，其中ε取值为1