Question

若f（x）=（m-1）x2+2mx+3是偶函数，则f（x）在区间（-3，1）上（...

若f（x）=（m-1）x2+2mx+3是偶函数，则f（x）在区间（-3，1）上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增

Answer 1

分析：f（x）=（m-1）x2+2mx+3若为偶函数，则表达式中显然不能含有一次项2mx，故m=0．此题还需要对该函数是否是二次函数进行讨论．
解答：解：（1）若m=1，则函数f（x）=2x+3，则f（-x）=-2x+3≠f（x），此时函数不是偶函数，所以m≠1
（2）若m≠1，且函数f（x）=（m-1）x2+2mx+3是偶函数，
则
一次项2mx=0恒成立，则
m=0，
因此，函数为
f（x）=-x2+3，
此函数图象是开口向下，以y轴为对称轴二次函数图象．
所以，函数在区间（-3，1）的单调性是先增后减．
点评：函数奇偶性定义中f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），包含两层意义：
一是x与-x都使函数有意义，则定义域关于原点对称；
二是f（-x）=f（x）图象关于y轴对称，f（-x）=-f（x）图象关于原点对称．