Question

中国剩余定理是

Answer 1

孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

中文名
孙子定理
外文名
Chinese remainder theorem(CRT)
分类
数学
提出
孙子
问题
一元线性同余方程组
快速
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文献

交换环上推广

数论相关

例题解析
公式
用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设 是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设 是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
设 为 模 的数论倒数( 为 模 意义下的逆元)
方程组 的通解形式为
在模 的意义下，方程组 只有一个解：
证明[1] ：
从假设可知，对任何 ，由于，所以 这说明存在整数使得 这样的 叫做 模 的数论倒数。考察乘积 可知：

所以满足：
这说明 就是方程组 的一个解。
另外，假设 和 都是方程组 的解，那么：

而 两两互质，这说明 整除 . 所以方程组的任何两个解之间必然相差 的整数倍。而另一方面，是一个解，同时所有形式为：
的整数也是方程组 的解。所以方程组所有的解的集合就是：
文献
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设 是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设 是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
设 为 模 的数论倒数( 为 模 意义下的逆元)
方程组 的通解形式为
在模 的意义下，方程组 只有一个解：
证明[1] ：
从假设可知，对任何 ，由于，所以 这说明存在整数使得 这样的 叫做 模 的数论倒数。考察乘积 可知：

所以满足：
这说明 就是方程组 的一个解。
另外，假设 和 都是方程组 的解，那么：

而 两两互质，这说明 整除 . 所以方程组的任何两个解之间必然相差 的整数倍。而另一方面，是一个解，同时所有形式为：
的整数也是方程组 的解。所以方程组所有的解的集合就是：孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见?>同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。