二重积分计算体积
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来信收到,首先指出,你的概念有错:二重积分的计算中没有“先二后一”和“先一后二”的概念,只有在三重积分的计算中才有:
注意到Ω关于xOy坐标面上下对称。先算z≥0的部分,再2倍之。按你的要求,用“先一后二”。
必须将Ω投影到xOy坐标面上,再将投影区域分成两个部分——
D(1):x^2+y^2≤1,对应的是一个圆柱体;
D(2):1≤x^2+y^2≤2,对应的z从z=√【(x^2+y^2)-1】到z=1;
在D(1)上“先一”得1,则“后二”得
V(1)=∫∫【D(1)】1dxdy=π;
在柱面坐标系下,D(2)上“先一”得1-√(r^2-1),则“后二”得
V(2)=∫∫【D(2)】[1-√(r^2-1)]rdrdθ
=∫【0到2π】dθ∫【1到√2】[1-√(r^2-1)]rdr
=2π∫【1到√2】[1-√(r^2-1)]rdr
=2π[(r^2)/2-(1/3)*(r^2-1)^(3/2)]【1到√2】
=2π(1/2-1/3)=π/3。
V=2[V(1)+V(2)]=8π/3。
方法肯定就是这样,请自己核对答案,抱歉了,没写草稿,相信不会有错。
注意到Ω关于xOy坐标面上下对称。先算z≥0的部分,再2倍之。按你的要求,用“先一后二”。
必须将Ω投影到xOy坐标面上,再将投影区域分成两个部分——
D(1):x^2+y^2≤1,对应的是一个圆柱体;
D(2):1≤x^2+y^2≤2,对应的z从z=√【(x^2+y^2)-1】到z=1;
在D(1)上“先一”得1,则“后二”得
V(1)=∫∫【D(1)】1dxdy=π;
在柱面坐标系下,D(2)上“先一”得1-√(r^2-1),则“后二”得
V(2)=∫∫【D(2)】[1-√(r^2-1)]rdrdθ
=∫【0到2π】dθ∫【1到√2】[1-√(r^2-1)]rdr
=2π∫【1到√2】[1-√(r^2-1)]rdr
=2π[(r^2)/2-(1/3)*(r^2-1)^(3/2)]【1到√2】
=2π(1/2-1/3)=π/3。
V=2[V(1)+V(2)]=8π/3。
方法肯定就是这样,请自己核对答案,抱歉了,没写草稿,相信不会有错。
图为信息科技(深圳)有限公司
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