Question

已知z是复数，z+2i，z2-i均为实数（i为虚数单位）．（1）求z；（2）如果...

已知z是复数，z+2i，z2-i均为实数（i为虚数单位）． （1）求z； （2）如果复数（z-ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）设z=x+yi（x、y∈R），…（1分）∵z+2i=x+（y+2）i，由题意得y=-2．…（3分）
∵z2-i=x-2i2-i=15(x-2i)(2+i)=15(2x+2)+15(x-4)i 为实数，可得x=4，∴z=4-2i．…（6分）
（2）∵（z-ai）2=（-a2-4a+12）-8（a+2）i，对应点在第一象限，…′（8分）
可知-a2-4a+12＞0-8(a+2)＞0，即：a2+4a-12＞0a+2＜0，…（10分）
解得-6＜a＜2a＜-2，∴-6＜a＜-2，
即实数a的取值范围是（-6，-2）．…（12分）