Question

在ΔABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c已知asinB/2+bsinA/2=c/2.

在ΔABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c已知asinB/2+bsinA/2=c/2. （1）求证：a,c,成等差数列； （2）若a-b=4,ΔABC的最大内角为120°，求ΔABC的面积.

Answer 1

证明：
(1)
已知asin²（B/2）+bsin²（A/2）=c/2
∵cosB
=
1-2
sin²（B/2）
∴sin²（B/2）=(1-
cosB)/2
同理，
cosA
=
1-2
sin²（A/2）
∴sin²（A/2
=(1-
cosA)/2
∴asin²（B/2）+bsin²（A/2）=
c/2
→a×(1-
cosB)/2＋b×(1-
cosA)/2
=
c/2
→a－a×cosB
＋b－b×cosA
=
c
a＋b－c
=
a×cosB+
b×cosA
根据余弦定理，可得
cosB
=
(a2
+
c2
-
b2)
/
(2·a·c)
cosA
=
(c2
+
b2
-
a2)
/
(2bc)
代入到a＋b－c
=
a×cosB+
b×cosA，得
a＋b－c
=
a×[(a2
+
c2
-
b2)
/
(2·a·c)]+
b×[(c2
+
b2
-
a2)
/
(2bc)]
=(
a2
+
c2
-
b2＋c2
+
b2
-
a2)/2c
=
2
c2/2c
=c
a＋b－c
=
c
→
a＋b
=
2c
∴
a,b,c成等差数列
(2)
(2)
∵a-b=4,可知，在△ABC中，a是∠A所对的边最大，
根据三角形中，大边对大角，
∴∠A=120°，∵a-b=4
∴b=a-4，
2c
=
a＋b
=
a
+
a-4
=2a
-4
∴c=a-2；
代入余弦公式：
a²=b²+c²-2bc·cosA
=
(a-4)²+(a-2)²－2×(a-4)
×(a-2)×cos120°
整理化简得a²－9a＋14
=0
解得a
=7
,a=
2
,当a
=
2时，由c=a-2
=
0
，无意义，
∴
a
=7
b=a-4
=
7-4=3
c
c=a-2
=7
-2
=5
b
=
3
,c
=5
根据三角形的面积公式
S△ABC
=(1/2)×b×c×sinA
=(1/2)
×3×7×sin120°
=
(21/4)√3
∴S△ABC
=(21/4)√3