Question

跪求矩阵的乘方如何计算（高手进!） -1 2 比如A= 那么A的10次方怎么计算 0 -1

Answer 1

一般的矩阵乘方就是用对角化,相信你也知道,就不多说了.但本题不能对角化.
方法有3个：
法1：
A=B+C,拆成两个矩阵的和
其中B=
-1 0
0 -1
C=
0 2
0 0
很显然B和C是可交换的,所以(A^10)=(B+C)^10可以用类似二项式定理的形式拆开
(A^10)=(B+C)^10=(B^10)+10(B^9)(C)+45(B^8)(C^2)+...
我们发现C^2,C^3,...都是零矩阵,所以后面都没了,其实只有前两项.
(A^10)=(B^10)+10(B^9)(C)
算出来就行了.
法2：
A=-B
其中B=
1 -2
0 1
A^10=B^10
我们发现B其实是一个初等变换矩阵!任何二阶矩阵矩阵右乘一个B,就是把它的第一列的（-2）倍加到第二列上!
现在问题就是“有一个矩阵B,右乘了9次B,结果是什么?”
那么很明显,就是B本身做了9次上面所说的列变换.我们只要把
1 -2
0 1
的第一列的（-2）倍加到第二列上,做9次就行了.
法3：
前面所说的两种方法是本题特有的解法,万一题目中的矩阵很烦,阶数很高,有不能对角化.我们有一个通用的解法就是Hamilton Cayley定理,是矩阵论的内容,不知LZ听过没.我就不先具体说了,要知道详情可以再联系.