Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2x+b)/(2(x+1)+a)是奇函数

1.求f(x)2.是否存在最大常数k，对于任意x都有f(x)>k，求出k，若不存在，说明理由.

Answer 1

原题是
已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]是奇函数
吧
(1)因为
f(x)是奇函数，所以f(0)=0
即(b-1)/(a+2)=0
则
b=1
因为
f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)
即(b-1/2)/(a+1)=-(b-2)/(a+4)
1/[2(a+1)]=1/(a+4)
2(a+1)=a+4
解得a=2
综上所述a=2,b=1
(2)f(x)=(1/2)[(1-2^x)/(1+2^x)]=(1/2){-1+[2/(1+2^x)]}
则可以证明函数f(x)是递减的
又因为f(x²-2t)+f(2t²-k)<0可以化为f(x²-2t)<-f(2t²-k)
(用奇函数，得出-f(2t²-k)=f(k-2t²)
则f(x²-2t)<f(k-2t²)
(用单调性)
x²-2t>k-2t²
x²>k-2t²+2t
因为x²≥0，要使得上式恒成立，
则k-2t²+2t<0，
即2t²-2t-k>0对任意实数t恒成立，
则其判别式(-2)²-4×2×(-k)<0，得:k<-1/2