Question

三重积分计算过程求详细步骤解释

每一步咋出来的，详细点的解释

Answer 1

详细过程是，①由Dxy的区域，确定了x、y的变化区间分别是x∈[0,1]、y∈[0,(1-x)/2]。
②直线z+x+2y=1由平面z=0穿入Ω内，∴z≥0。又，z+x+2y=1，∴z=1-x-2y。∴z∈[0,1-x-2y]。
③，对∫(0,1-x-2y)xdz，“x”为常数，∴∫(0,1-x-2y)xdz=x∫(0,1-x-2y)dz=x(1-x-2y)。
④，接下来，对y积分，“x”仍然视作常数。原式=∫(0,1)xdx∫(0,1/2-x/2)(1-x-2y)dy。而，∫(0,1/2-x/2)(1-x-2y)dy=[(1-x)y-y²]丨(y=0,1/2-x/2/)=(1-x)²/4。
∴原式=∫(0,1)x(1-x)²dx/4=(1/4)∫(0,1)(x-2x²+x³)dx=…=1/48。
供参考。