Question

1.求函数y=2cos(π/3-x)+sin(x+π/6)的最值

2.求函数y=cos2x+cos(2x-π/6)的最值 3.求函数y2cos2x+(sinx)平方-4cosx

Answer 1

三角函数和角公式
(A、B、C为角度)
sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB
cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB
sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB
cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB
1、方法1:y=2cos(π/3-x)+sin(x+π/6)
=2(cosπ/3*cosx+sinπ/3*sinx)+sinx*cosπ/6+cosx*sinπ/6
=cosx+3^(1/2)sinx+[3^(1/2)/2]sinx+(1/2)cosx=3*{(1/2)cosx+[3^(1/2)/2]sinx}
=3*{sinπ/6*cosx+cosπ/6*sinx}=3sin(x+π/6)
所以-3=<y<=3.
方法2:若A+B=π/2
则有sinA=cosB
cosA=sinB
因(π/3-x)+(x+π/6)=π/2
所以cos(π/3-x)=sin(x+π/6)
所以y=3sin(x+π/6)
2、若y=asinA+bcosB=(a^2+b^2)^(1/2)sin(A+C)
其中sinC=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]
cosC=a/[(a^2+b^2)^(1/2)],这也是一个公式，有时角度C正余弦值不是特殊值，C度数可能计算不出来。
y=cos2x+cos(2x-π/6)=cos2x+[3^(1/2)/2]cos2x+(1/2)sin2x
=[1+3^(1/2)/2]cos2x+(1/2)sin2x
a=1/2
b=1+3^(1/2)/2
(a^2+b^2)^(1/2)=[2+3^(1/2)]^(1/2)=[6^(1/2)+2^(1/2)]/2
y=[6^(1/2)+2^(1/2)]/2sin(2x+C)
cosC=(1/2)/{[6^(1/2)+2^(1/2)]/2}
所以-[6^(1/2)+2^(1/2)]/2=<y,=[6^(1/2)+2^(1/2)]/2
3、三角函数倍角公式
cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1=1-2(sinA)^2
sin2A=2sinAcosA
y=2cos2x+(sinx)^2-4cosx=4(cosx)^2-2+1-(cosx)^2-4cosx
=3(cosx)^2-4cosx-1
对称轴=2/3
-1=<cosx<=1
所以cosx=2/3时
y有最小值为-7/3
cosx=-1时
y有最大值为6