Question

求证下列方程有且只有一个实根。谢谢

求证方程 =0有且只有一个实根

Answer 1

设F(x)
=
∫{0,x}
√(1+t^4)dt+∫{cos(x),0}
e^(-t²)dt.
F(x)在R上可导,
并有F'(x)
=
√(1+x^4)-e^(-cos²(x))·(cos(x))'
=
√(1+x^4)+e^(-cos²(x))·sin(x).
当枣斗x
=
0,
有F'(x)
=
1
>
0.
当x
≠
0,
有√(1+x^4)
>
1.
而sin(x)
≥
-1,
0
<
e^(-cos²(x))
≤
e^0
=
1,
故e^(-cos²(x))·sin(x)
≥
-e^(-cos²(x))
≥
-1.
故F'(x)
=
√(1+x^4)+e^(-cos²(x))·sin(x)
>誉岩缺
0.
因此F(x)在R上严格单调递增.
F(0)
=
∫{1,0}
e^(-t²)dt
=
-∫{0,1}
e^(-t²)dt
<
0.
F(π/2)
=
∫{0,π/2}
√(1+t^4)dt
>
0.
由F(x)连续,
根据介值定理,
F(x)
=
0存在实根.
而由F(x)严格单调递增,
F(x)
=
0的实根是庆辩唯一的.
即F(x)
=
0有且仅有一个实根.

Answer 2

证明y=2^x
y=-x+2
则2^x+x-2=0的解就是这两个函数的配旁拆启猜交点
y=2^x是增函数
y=-x+2是减函数
所以最多一个交点：
x=0，2^x<-x+2
x=1,2^x>-x+2
所以在(0,1)有交点
所以有一个培枣解