Question

y³y''-1＝0微分方程求通解

Answer 1

求微分方程 y³y''-1＝0 的通解
解：令y'=dy/dx=p；则y''=dy'/dx=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)；
代入原式得：y³p(dp/dy)=1;
分离变量得：pdp=(1/y³)dy;
积分之得：(1/2)p²=-1/(2y²)+(1/2)C₁;
消去1/2，得 p²=-(1/y²)+C₁；
∴ p=dy/dx=±√[C₁-(1/y²)]=±y/√(C₁y²-1)
再次分离变量得：{√[C₁y²-1)]/y}dy=±dx...........①
令(√C₁)y=secu；则y=(secu)/√C₁；dy=(secutanudu)/√C₁;
代入①式并化简得：tan²udu=±dx；即有(sec²u-1)du=±dx;
积分之得 tanu-u=±x+C₂
由(√C₁)y=secu =1/cosu得tanu=√(C₁y²-1)； u=arctan√(C₁y²-1);
故通解为：√(C₁y²-1)-arctan√(C₁y²-1)=±x+C₂；

Answer 2

2y'''y''=2
[(y'')²]'=2
(y'')²=2x+C1
y''=√(2x+C1)
y'=(1/3)(2x+C1)^(3/2)+C2
y=(1/15)(2x+C1)^(5/2)+C2x+C3