Question

两个不独立的一维正态分布(不符合联合二维正态分布)的线性组合服从一维正态分布吗?

Answer 1

两个不独立的一维正态分布(不符合联合二维正态分布)的线性组合不一定服从一维正态分布。

如果对于任意的 a,b都有aX+bY符合一元正态分布，则X，Y必定符合二维正态分布。所以只能说可能存在某些a,b让aX+bY符合一元正态分布。

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

Answer 2

两个不独立的一维正态分布(不符合联合二维正态分布)的线性组合服从一维正态分布。

注意我们标准正态分布的密度函数，这时还没有说明正态分布的两个参数μ和σ是期望和方差。高斯分布的概率密度计算核心在于计算数据点到中心的距离，并且除以标准差将这个绝对距离转化为相对距离，然后通过距离平方的指数衰减计算概率密度。

一维正态分布注意：

对于某种分布(例如正态分布)，如果一对相互独立的随机变量和服从这种分布蕴含了，也服从这种分布，那么称这种分布具有再生性。很多分布都具有再生性，包括二项分布、泊松分布等等，验证这类性质用特征函数最为简便。