Question

矩阵的秩与伴随矩阵的秩的关系是什么?

Answer 1

关系如下：

原矩阵秩为n，伴随为n。

原矩阵秩为n-1，伴随为1。

原矩阵秩小于n-1，伴随为0。

再补充一下，伴随A* =1/|A| * A^-1。

当A满秩，A^-1也满秩，所以伴随也满秩。

从定义来伴随阵由余子式构成，当原矩阵秩为n-1时，则至少存在一个n-1阶行列式不为0。所以为1
当小于n-1时，任何n-1阶子式都等于0，所以伴随阵为0阵，秩为0。

伴随矩阵和矩阵性质：

当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀，主对角线元素互换，副对角线元素变号。

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。