Question

正整数a，b满足方程a²-23a=b²，求a和b。

要通用方法，不要一个一个去试的。

Answer 1

a=0，b=0

方法如下，
请作参考：

得a=0，b=0

Answer 2

分享解法如下。由题目条件，有a(a-23)=b²=1*b²=b*b。∴a=b²、a-23=1或者a=b、a-23=b。此时，均没有正整数a、b使等式成立。
故，没有正整数满足a²-23a=b²成立。

Answer 3

由已知（a+b）（a-b）=23a
设k为正整数，23a=23k*a/k，a/k小于等于a。所以一定有
a-b=a/k （1）
那么a+b=23k （2）
（1）+（2）有2a=a/k+23k，a=23k^2/(2k-1)
观察，k不可能有因子2k-1，除非k=1，而k=1，a=23，b=0，舍去
所以2k-1只能是23*m，并且m为正奇数，2k-1=23*m
a=23k^2/(2k-1) =[(23m+1)/2]^2/m=[11m+(m+1)/2]^2/m
={[(11m)^2+11m(m+1)+[(m+1)/2]^2}/m
显然(11m)^2+11m(m+1)是m的正整数倍数，所以只要[(m+1)/2]^2是m的倍数就可以了。
设m=2n-1，n为正整数，[(m+1)/2]^2/m=n^2/(2n-1) ，前面已经讨论过，只有n=1时，才可能为整数，所以m=2*1-1=1，k=12，a=144，b=132
综上，只有a=144，b=132

追问

a=23k²/（2k-1）这里2k-1可以等于k或者k²，算出来k=1，a=23，b=0，所以b不满足条件舍弃了。还有设k为整数的时候应该先考虑k=0的情况吧，算出a=b=0舍弃，再讨论k≠0的情况，这样答题才不会扣分吧？

追答

是的，那个情况没写2k-1=k，先讨论一下，b=0，舍去，这样更严谨。

追问

（a=144，b=132），（a=144，b=-132），（a=0，b=0），（a=23，b=0）除了这4组整数解还有别的吗？我的意思是想把所有解都求出来，然后再排除掉不符合条件的。

追答

问的很有道理，其实还是前面答案写的不严谨。
但求出所有解，再舍去，你的意思是看是否有遗漏的。就算求所有解，也最好在已知的前提下求，比如都是正整数，否则，a为负数，有可能有很多解。或者不为整数，肯定是无穷多组解。
由已知（a+b）（a-b）=23a=
设k为正整数，23a=23k*a/k，a/k小于等于a。所以一定有
a-b=a/k （2）
那么a+b=23k （1）
（1）+（2）有2a=a/k+23k，a=23k^2/(2k-1)
观察，k不可能有因子2k-1，除非k=1，而k=1，a=23，b=0，舍去
所以2k-1只能是23*m，并且m为正奇数，2k-1=23*m
a=23k^2/(2k-1) =[(23m+1)/2]^2/m=[11m+(m+1)/2]^2/m
={[(11m)^2+11m(m+1)+[(m+1)/2]^2}/m
显然(11m)^2+11m(m+1)是m的正整数倍数，所以只要[(m+1)/2]^2是m的倍数就可以了。
设m=2n-1，n为正整数，[(m+1)/2]^2/m=n^2/(2n-1) ，前面已经讨论过，只有n=1时，才可能为整数，所以m=2*1-1=1，k=12，a=144，b=132
综上，只有a=144，b=132

Answer 4

a^2-23a=b^2
a（a-23）＝b^2
a=b=23

Answer 5

a²-23a=b²
a(a-23)=b² 令a=n²，a-23=m²则b=nm
n²-m²=23
(n+m)(n-m)=23=23*1
n+m=23
n-m=1
n=(23+1)/2=24/2=12
m=(23-1)/2=22/2=11
a=12²=144
b=12*11=132
我的另外一个答案，可以把所有整数解都求出来，然后排除掉不是正整数的。

4a²-92a=4b²
4a²-92a+23²=4b²+529
(2a-23)²=4b²+529
(2a-23)²-4b²=529
(2a-23+2b)(2a-23-2b)=529*1=1*529=23*23=-529*-1=-1*-529=-23*-23
（1）2a-23+2b=529，2a+2b=552，a+b=276
2a-23-2b=1，2a-2b=24，a-b=12
a=(276+12)/2=288/2=144
b=(276-12)/2=264/2=132
（2）......

追问

你这个a=n²相当于特殊化了，要是a和b只规定是整数，那a=23，b=0也行。我采纳了另外一个答案，他的方法可以把所有整数解都求出来，然后排除掉不是正整数的。

追答

（2）2a-23+2b=1，2a+2b=24，a+b=12
2a-23-2b=529，2a-2b=552，a-b=276
a=(12+276)/2=288/2=144
b=(12-276)/2=-264/2=-132
不符合题意，舍去。
（3）2a-23+2b=23，2a+2b=46，a+b=23
2a-23-2b=23，2a-2b=46，a-b=23
a=(23+23)/2=46/2=23
b=(23-23)/2=0/2=0
不符合题意，舍去。
（4）2a-23+2b=-529，2a+2b=-506，a+b=-253
2a-23-2b=-1，2a-2b=-22，a-b=-11
a=(-253-11)/2=-264/2=-132
b=(-253+11)/2=-242/2=-121
不符合题意，舍去。
（5）2a-23+2b=-1，2a+2b=22，a+b=11
2a-23-2b=-529，2a-2b=-506，a-b=-253
a=(11-253)/2=-242/2=-121
b=(11+253)/2=264/2=132
不符合题意，舍去。
（6）2a-23+2b=-23，2a+2b=0，a+b=0
2a-23-2b=-23，2a-2b=0，a-b=0
a=(0+0)/2=0/2=0
b=(0-0)/2=0/2=0
不符合题意，舍去。