Question

积分求椭圆面积

椭圆以左焦点为极点的极坐标方程，怎么积分求面积？

Answer 1

设椭圆的直角坐标方程为：x²/a²+y²/b²=1；以左焦点(-c，0)为极点建立极坐标系，在此极坐
标系里该椭圆的方程为：r=P/(1-ecosθ)；其中r为极半径，P为椭圆的焦点参数，即x=-c时的
y值：将x=-c代入椭圆方程得：c²/a²+P²/b²=1，∴P²=b²(1-c²/a²)=b²[(a²-c²)/a²]=(b^4)/a²;
e为椭圆的离心率(0<e<1); ∴P=b²/a；
故椭圆的极坐标方程为：r=b²/[a(1-ecosθ)]=b²/(a-c•cosθ);
∴椭圆面积A=(1/2)∫<0,2π>r²dθ=(1/2)(b^4)∫<0,2π>[1/(a-c•cosθ)²]dθ;
求出此积分，即成。

追问

谢谢啦!我的问题就是在最后的积分那里,积分公式里没这个,要变形我办不了.

追答

此积分可以再化简一下：
A=[(b^4)/(2a²)]∫[dθ/(1-ecosθ)²]
即使化简了也不好求，我拿着也没有好办法，抱歉。
椭圆面积A=πab; 如果只是为求椭圆面积，用椭圆参数方程求比较简便。

追问

我就想用极坐标求椭圆中的以左焦点为项角的一个扇形的面积，谢谢啦！

追答

上面就是以左焦点为极点求椭圆面积的过程，问题是最后的积分不好解。