Question

数学不等式证明

A B C D 为正数
求证 AB/(A+B)+CD/(C+D)<=(A+C)(B+D)/(A+B+C+D) 谢谢~
一楼雷人。

Answer 1

1／（1／a＋1／b）≤(a+b)／4,可以用(a+b)²≥4ab推出。
左=1／(1／a+1／b)+1／(1／c+1／d)≤(a+b)／4)+(c+d)／4=(a+b+c+d)／4.
这能不能明白。
右=（ab+ad+bc+cd）／(a+b+c+d).
因为（a+b+c+d）²=(a+c)²+2(a+c)(b+d)+(b+d)²≥4(a+c)(b+d)
（a+b+c+d）(a+b+c+d)≥4(ab+ad+bc+bd)

则右≥左
本式成立
补充说明：（想了一夜）
a,b,c,d均为正数
4ab≤（a+b）²,ab／（a＋b）≤(a+b)／4(当且仅当a=b时取等号)
,同理 cd／（c＋d）≤(c+d)／4（当且仅当c=d时取等号）
即左≤（a+b+c+d）／4(当且仅当a=b和c+d时取等号)
右=4（a+c）（b+d）／(a+b+c+d)²×(a+b+c+d)／4
因为（a+b+c+d）²=(a+c)²+2(a+c)(b+d)+(b+d)²≥4(a+c)(b+d)
（a+b+c+d）²≥4(ab+ad+bc+bd)(当且仅当a+c=b+d时取等号)
即右≤（a+b+c+d）／4(当且仅当a+c=b+d时取等号)
左右都可取最大值（a+b+c+d）／4。限制条件不一样。
a=b且c=d是a+c=b+d的充分条件，后者是前者的必要条件。即a+c=b+d时，
右取最大值，左不能。
综上，左≤右成立。

Answer 2

(A+C)(B+D)/(A+B+C+D)=(AB+AD+CB+CD)/(A+B+C+D)
=AB/(A+B+C+D)+AD/(A+B+C+D)+CB/(A+B+C+D)+CD/(A+B+C+D)
AB/(A+B)<AB/(A+B+C+D),
CD/(C+D)<CD/(A+B+C+D)（分母小的数大)
所以AB/(A+B)+CD/(C+D)<(A+C)(B+D)/(A+B+C+D)
又A=B=C=D=1时AB/(A+B)+CD/(C+D)=(A+C)(B+D)/(A+B+C+D)
所以AB/(A+B)+CD/(C+D)<=(A+C)(B+D)/(A+B+C+D)

Answer 3

可以试一下赋值法，若3个数能使不等式成立，那么就没问题了。

Answer 4

AB/(A+B)+CD/(C+D)<=A^2B+AB^2+C^2D+CD^2 ①

(A+C)(B+D)/(A+B+C+D)=A^2B+AB^2+ABC+ABD②
这样就知道①不等于②了。

Answer 5

王勃啊 ，你好：
此题中，a,b对称，c,d对称。因此可以判断出等号成立的条件为a=b,c=d,另外，此题不考虑放缩方法，否则等号不能取到。
证明：2ab/(a+b)+2cd/(c+d)=2/(1/a+1/b)+2/(1/c+1/d)≤√(ab)+√(cd)
≤(a+b)/2+(c+d)/2=(a+c)/2+(b+d)/2=2[(a+c)(b+d)]/4(b+d)+2[(a+c)(b+d)]/4(a+c)≤2(a+c)(b+d)/(a+b+c+d).两边同除以2，不等式证毕。