Question

这个如何证明呀？

Answer 1

这道题在不同的阶段可以有不同的方法.

如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式, 可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的).

由A²-A = 2E, 知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一个化零多项式.
注意到该多项式没有重根, 而最小多项式必为化零多项式的因式, 可知A的最小多项式没有重根.
因此A可对角化.

如果是没学Jordan标准型, 可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其任意特征值的几何重数 = 代数重数.
这里特征值λ的几何重数是指AX = λX的解空间维数,
代数重数是指其作为A的特征多项式的根的重数(可证明几何重数 ≤ 代数重数).
因为属于不同特征值的特征向量线性无关, 上述条件等价于可以找到n个线性无关的特征向量.

由A²-A = 2E, 知(A+E)(A-2E) = 0.
于是r(A+E)+r(A-2E)-n ≤ r((A+E)(A-2E)) = 0, 即r(A+E)+r(A-2E) ≤ n.
-1作为A的特征值的几何重数 = n-r(A+E), 而2的几何重数 = n-r(A-2E).
于是由n ≥ -1的代数重数+2的代数重数
≥ -1的几何重数+2的几何重数
= n-r(A+E)+n-r(A-2E)
≥ n,
可知A没有-1, 2以外的特征值, 且-1和2的几何重数 = 代数重数, 因此A可对角化.