Question

可分离变量的微分方程 两边怎么能对不同变量进行积分呢

比如：dy/dx =3xdy 求法是：1/ydy=3xdx dx可以乘过去？？？
∫1/ydy=∫3xdx+c 怎么可以积分的？？？？

Answer 1

微分方程当中x,y都可以认为是函数，例如x(t)，y(t)，dx就是x对t求导，dy就是y对t求导，当然可以乘过去。
3xx'=y'/y两边同时对t积分，∫3xx'dt=∫3xdx。∫y'/ydt=∫1/ydy。所以两边可以同时取积分，也自然可以移项或者通分。
因为非数学或者微分相关的工科专业不涉及柯西问题，所以并不写明x,y都是t的函数，但实际上x,y本身就都是t的函数，所有的运算都是满足的，例如dy/dx=y'(t)/x'(t)=y'(x)。 这一点在高数学到高阶微分方程或者微分方程组的时候有少量体现。

Answer 2

其实积分号∫和d直接相遇后，就等于d后面跟着的东西，这是不定积分运算法则。和d后面跟的什么东西无关。而这里，两边同时取积分也是这个意思。

也可以这样理解
dy/y=3xdx
dy/dx*1/y*dx=3xdx，这样两边就都是对x积分了
∫dy/dx*1/y*dx= ∫3xdx
左边相当于凑微分
即∫dy/y= ∫3xdx
ln|y|=3x^2/2+C
y=Ce^(3x^2/2)