Question

数学几何体问题1

Answer 1

1.证明：设AD中点为M，连接EM、E'M
∵ED=EA，∴EM⊥AD .........等腰三角形性质
∵EE'⊥平面ABCD，∴E'是E在平面ABCD上的射影
由三垂线可知：∵EM⊥AD，∴E'M⊥AD
又∵M是AD中点，E'M⊥AD
∴E'M为AD的垂直平分线，即E'在AD的垂直平分线上
同理：即F'在BC的垂直平分线上
又∵四边形ABCD为正方形，∴AD、BC的垂直平分线重合
∴E'、F'在AD的垂直平分线上，即E'F'垂直且平分线段AD

2.解：过CD做平面α，使得平面α⊥平面ABCD，交EF于G，连接GB、GC
∴△GBC的高=EE'
∵底面ABCD为正方形，边长为2，∴AE'=√2
又∵△AED是等腰三角形，且∠EAD=60°，∴△AED为等边三角形，∴AE=AD=2
∴在RT△AE'E中：由勾股定理可知EE'=√2
将四面体F-GBC沿着直线l平移，使得△FBC与△ECA完全重合......(显然△FBC≌△ECA，证明略)
此时G点的位置为G'
则原多面体体积=三棱柱G'AD-GBC体积
=△GBC面积×AB
=1/2×BC×EE'×AB
=1/2×2×√2×2
=2√2