Question

帮忙做到题！谢谢

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.
1 求椭圆C的方程！
2 若P为椭圆C上的动点, M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OM|分之|OP|= λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的是什么曲线！

Answer 1

(1)焦点在X轴,一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1,则该顶点应在X轴,
焦距=7-1=6,
设焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0),
c=6/2=3,
长半轴a=c+1=4,
短半轴b=√(a^2-c^2)=√7,
椭圆方程为:x^2/16+y^2/7=1.

(2).|OP|/|OM|=λ,
设M(x,y),P(x,k),
P点与M横坐标相等,k是纵坐标,
|OP|=√(x^2+k^2),|OM|=√(x^2+y^2),
P在椭圆上,x^2/16+k^2/7=1,
k=√112-7x^2)/4,x^2+(112-7x^2)/16=λ^2(x^2+y^2),
点M的轨迹方程为:
x^2/(7(16λ^2-9)/16λ^2+y^2/7=1
当λ>3/4时,为椭圆,λ<3/4时为双曲线.

Answer 2

(1)焦点在X轴,一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1,则该顶点应在X轴,
焦距=7-1=6,
设焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0),
c=6/2=3,
长半轴a=c+1=4,
短半轴b=√(a^2-c^2)=√7,
椭圆方程为:x^2/16+y^2/7=1.

Answer 3

（1）因为两Y轴上的顶点b，-b到两焦点距离相等，所以题中说的顶点到两个焦点的距离分别为7和1是a 。a+c=7；a-c=1 求的 a=4，c=3，b的平方为5
X的平方/16+Y的平方/5=1

（2）解题思路：p点坐标（X，Y），M（X，Y’）
|OM|分之|OP|= λ 可知
根号下（X的平方+Y的平方）/根号下（X的平方+Y’的平方）=λ
把p点带入C的方程中Y用X代替。
就可以解出一个关于X与Y’的关系式，为所求