求问这道题的和函数怎么计算 20
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设S=∑<n=2,∞>(n-1)x^n/[n(n+1)],则
x=0时S=0;
x≠0时
（xS）''=∑<n=2,∞>(n-1)x^(n-1),
(xS)''-x(xS)''=x+x^2+x^3+……=x/(1-x),(|x|<1)
所以(xS)''=x/(1-x)^2=-1/(1-x)+1/(x-1)^2,
对区间(0,x)积分得 (xS)'=ln(1-x)+1/(1-x)-1,
再积分得xS=(x-1)ln(1-x)-x-ln(1-x)-x
=(x-2)ln(1-x)-2x,
所以S=(1-2/x)ln(1-x)-2..
x=0时S=0;
x≠0时
（xS）''=∑<n=2,∞>(n-1)x^(n-1),
(xS)''-x(xS)''=x+x^2+x^3+……=x/(1-x),(|x|<1)
所以(xS)''=x/(1-x)^2=-1/(1-x)+1/(x-1)^2,
对区间(0,x)积分得 (xS)'=ln(1-x)+1/(1-x)-1,
再积分得xS=(x-1)ln(1-x)-x-ln(1-x)-x
=(x-2)ln(1-x)-2x,
所以S=(1-2/x)ln(1-x)-2..
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