Question

请问这道数学概率论题怎么做？

Answer 1

f(x) =(1/2)e^(-|x|)                       ; -无穷<x<+无穷

首先要计算 E(X)

利用 E(X) =∫(-无穷->+无穷) xf(x) dx

E(X)

=∫(-无穷->+无穷) x[(1/2)e^(-|x|)] dx

=∫(-无穷->0) x[(1/2)e^x ] dx +∫(0->+无穷) x[(1/2)e^(-x)] dx

=(1/2)∫(-无穷->0) x de^x  -(1/2)∫(0->+无穷) xde^(-x)

分部积分 ∫udv =uv -∫vdu

=(1/2)[ xe^x]|(-无穷->0) -(1/2)∫(-无穷->0) e^x dx

-(1/2)[ xe^(-x)]|(0->+无穷) +(1/2)∫(0->+无穷) e^(-x) dx

=0-(1/2)∫(-无穷->0) e^x dx -0 +(1/2)∫(0->+无穷) e^(-x) dx

=-(1/2)[e^x]|(-无穷->0) -(1/2)[e^(-x)]|(0->+无穷)

=0

再算E(X^2)

E(X^2)

=∫(-无穷->+无穷) x^2.[(1/2)e^(-|x|)] dx

=(1/2)∫(-无穷->0) x^2.e^x dx +(1/2)∫(0->+无穷) x^2.e^(-x) dx

=(1/2)∫(-无穷->0) x^2 de^x  -(1/2)∫(0->+无穷) x^2 de^(-x) 

=(1/2)[x^2.e^x]|(-无穷->0)  -∫(-无穷->0) x e^x dx

-(1/2)[x^2.e^(-x)]|(0->+无穷)  +∫(0->+无穷) x e^(-x) dx

=-∫(-无穷->0) x e^x dx+∫(0->+无穷) x e^(-x) dx

=-E(X) +2∫(0->+无穷) x e^(-x) dx

=2∫(0->+无穷) x e^(-x) dx

=-2∫(0->+无穷) x de^(-x)

=-2[xe^(-x)]|(0->+无穷) +2∫(0->+无穷) e^(-x) dx

=-2[e^(-x)]|(0->+无穷)

=2

D(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =2

Answer 2

显然，EX=0，因为是个奇函数在实数范围积分。EX^2，用分部积分，算出来应该是2。
所以DX=EX^2-(EX)^2=2
还可以考虑结合指数分布，这个概率密度和指数的非常像，积分时候，可以考虑只算0到正无穷，这样这个概率密度就和指数的几乎一样，就是差个系数，可以借助指数分布的期望方差，来算积分。

Answer 3

显然，EX=0，因为是个奇函数在实数范围积分。EX^2，用分部积分，算出来应该是2。
所以DX=EX^2-(EX)^2=2
还可以考虑结合指数分布，这个概率密度和指数的非常像，积分时候，可以考虑只算0到正无穷，这样这个概率密度就和指数的几乎一样，就是差个系数，可以借助指数分布的期望方差，来算积分。