Question

矩阵相似可以得出什么结论?

Answer 1

1、矩阵a和b相似则特征多项式相同，特征值相同，行列式相等，迹相等，秩相等。

p^(-1)AP=B, 则称A相似B；合同， XT AX=B，则称A，B合同。

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。

因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为n。

2、相似的矩阵必有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。

如果A相似B,则存在非奇异矩阵是P，有P^(-1)*A*P＝B。

det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A)。

即B的特征多项式与A的特征多项式相同，故有相同的特征值。如果A的特征向量是a的，则B的特征向量就是Pa，设x是相应的特征向量，故Ax＝ax，于是BPx=PAP^(-1)Pa=PAx=aPx。

相似矩阵具有相同特征值，但特征值相同未必相似，也就是说特征值相同只是矩阵相似的必要条件，而不充分。

比如A，B是两个4阶矩阵，并且有相同的4重特征值，但A有1阶和3阶的两个Jordan块，而B有两个2阶Jordan块，所以A，B不相似。判断两个矩阵是否相似要依据Jordan是否相同或初等因子是否相同或特征值的代数重数与几何重数是否相同。