如图,△ABC中,AD垂直于BC于D,∠B=2∠C,求证AB+BD=CD
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方法一:
延长AB至E,使BE=BD.
∵BE=BD,∴∠AED=∠BDE.
∴由三角形外角定理,有:∠ABC=∠AED+∠BDE=2∠AED,又∠ABC=2∠ACD,
∴∠AED=∠ACD,∴△ADE的外接圆、△ADC的外接圆是等圆.
∵AD⊥BC,∴∠ADE=90°+∠BED=90°+∠AED=90°+∠ACD.
显然有:∠CAD=90°-∠ACD,∴∠CAD+∠ADE=180°,
∴AE=CD[在等圆中,互补的圆周角所对的弦相等],∴AB+BE=CD,∴AB+BD=CD.
方法二:
在CD上取一点F,使BD=DF.
∵AD⊥BF、BD=DF,∴AB=AF,∴∠ABC=∠AOB,又∠ABC=2∠ACF,
∴∠AFB=2∠ACF.
由三角形外角定理,有:∠AFB=∠ACF+∠CAF,∴2∠ACF=∠ACF+∠CAF,
∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF.
显然有:CF+DF=CD,∴AF+BD=CD,∴AB+BD=CD.
延长AB至E,使BE=BD.
∵BE=BD,∴∠AED=∠BDE.
∴由三角形外角定理,有:∠ABC=∠AED+∠BDE=2∠AED,又∠ABC=2∠ACD,
∴∠AED=∠ACD,∴△ADE的外接圆、△ADC的外接圆是等圆.
∵AD⊥BC,∴∠ADE=90°+∠BED=90°+∠AED=90°+∠ACD.
显然有:∠CAD=90°-∠ACD,∴∠CAD+∠ADE=180°,
∴AE=CD[在等圆中,互补的圆周角所对的弦相等],∴AB+BE=CD,∴AB+BD=CD.
方法二:
在CD上取一点F,使BD=DF.
∵AD⊥BF、BD=DF,∴AB=AF,∴∠ABC=∠AOB,又∠ABC=2∠ACF,
∴∠AFB=2∠ACF.
由三角形外角定理,有:∠AFB=∠ACF+∠CAF,∴2∠ACF=∠ACF+∠CAF,
∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF.
显然有:CF+DF=CD,∴AF+BD=CD,∴AB+BD=CD.
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