Question

如图,△ABC中,AD垂直于BC于D,∠B=2∠C,求证AB+BD=CD

Answer 1

方法一：
延长AB至E,使BE＝BD.
∵BE＝BD,∴∠AED＝∠BDE.
∴由三角形外角定理,有：∠ABC＝∠AED＋∠BDE＝2∠AED,又∠ABC＝2∠ACD,
∴∠AED＝∠ACD,∴△ADE的外接圆、△ADC的外接圆是等圆.
∵AD⊥BC,∴∠ADE＝90°＋∠BED＝90°＋∠AED＝90°＋∠ACD.
显然有：∠CAD＝90°－∠ACD,∴∠CAD＋∠ADE＝180°,
∴AE＝CD［在等圆中,互补的圆周角所对的弦相等］,∴AB＋BE＝CD,∴AB＋BD＝CD.
方法二：
在CD上取一点F,使BD＝DF.
∵AD⊥BF、BD＝DF,∴AB＝AF,∴∠ABC＝∠AOB,又∠ABC＝2∠ACF,
∴∠AFB＝2∠ACF.
由三角形外角定理,有：∠AFB＝∠ACF＋∠CAF,∴2∠ACF＝∠ACF＋∠CAF,
∴∠ACF＝∠CAF,∴AF＝CF.
显然有：CF＋DF＝CD,∴AF＋BD＝CD,∴AB＋BD＝CD.