Question

设f(X)=∫1→xlnt/(t+1)dx,(x>0),计算f(x)+f(1/x)

Answer 1

令x=0：0=1-f(0),f(0)=1
左边=x∫(0→x)f'(t)dt-∫(0→x)(t-1)f'(t)dt
=x(f(x)-f(0))-∫(0→x)(t-1)f'(t)dt
=xf(x)-x-∫(0→x)(t-1)f'(t)dt
两边对x求导：f(x)+xf'(x)-1-(x-1)f'(x)=2x+e^x-f'(x)
f(x)+xf'(x)-1-xf'(x)+f'(x)=2x+e^x-f'(x)
2f'(x)+f(x)=2x+e^x+1
f'(x)+f(x)/2=x+e^x/2+1/2
e^(x/2)(f'(x)+f(x)/2)=xe^(x/2)+e^(3x/2)/2+e^(x/2)/2
(f(x)e^(x/2))'=xe^(x/2)+e^(3x/2)/2+e^(x/2)/2
两边积分：f(x)e^(x/2)=2∫xd(e^(x/2))+e^(3x/2)/3+e^(x/2)
=2xe^(x/2)-2∫e^(x/2)dx+e^(3x/2)/3+e^(x/2)
=2xe^(x/2)-4e^(x/2)+e^(3x/2)+e^(x/2)+C
=2xe^(x/2)-3e^(x/2)+e^(3x/2)+C
令x=0：1=-3+1+C,C=3
所以f(x)=2x-3+e^x+3e^(-x/2)