Question

线性代数笔记三 线性变换和矩阵乘法

Answer 1

通过前两节的基础知识铺垫，现在可以回到视频的P3和P4，重新看了。建议先关弹幕看一遍，然后打开弹幕看看大家的讨论，可能会有意外收获。
https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=4

经过线性变换(直线依旧是直线，保持网格线平等且等距分布，并且原点保持固定)：

如图，新坐标系的基就是那个绿箭头和红箭头，在原来的ij坐标系下的坐标值是1，-2和3，0。经过如图的计算过程，坐标系的变化，导致原来的V向量变成了5，2，实现了移动。

结合孟岩的理解矩阵系列，这就容易理解了：

现在可以推断出任意向量在变换之后的位置，以x,y为例：

现在看一个新的坐标变换，如图i,j已经标上了

如果一个向量，比如5,7经过这个线性变换，结果是什么呢？ 这里要注意，从右向左读更容易理解。5,7是原始变量，左侧的矩阵是一个对它进行的变换。

利用这种思路，可以看看百度百科中更复杂的矩阵乘法例子：

如上图，可以将[2,4]，[1,3]，[3,2]当成三个部分，等于[2,4]i+[1,3]j+[3,2]k，就和之前竖着的[5,7]视作5i+7k一样。现在变换将i,j,k这三个基坐标变成了四行的坐标形式，相当于[2,4]也变成了四行的形式。同样的，[1,3]，[3,2]也变成了四行的形式。如果比作三维变换到四维，我不知道这样类比正确不正确。所以，变换后的东西，仍然是像[2,4]一样有两列，不过有四行。

现在，推广到更一般的情况：

这里可以参考孟岩的理解矩阵第三篇：

B站视频的弹幕有网友作出解释，摘抄一部分：

坐标系的i变成了0，1；j变成了-1，0。所以任意向量逆时针旋转90度之后结果是这样的：

i没有变，j变成了1，1

这里，两个矩阵的相乘就有了几何意义，即两个线性变换，相继发生作用。

现在从右向左读,M1的i即e,g又经过了M2变换，如下图：这里乘上M2相当于把M1变换后的基，在M2变换方式中变换。注意，M2变换是针对最初的(1,0)，(0,1)的。也就是M2和M1都是基于原有坐标系的。

同理把M1的j也这样变换，最终得到结果：

现在应该很容易明白M1M2不等于M2M1,因为这两者的复合变换，顺序是不同的。而对于交换率呢，也就是(AB)C和A(BC)是否相同呢？很明显相同，从右向左的复合变换，顺序完全相同，括号只不过是把其中两个变换合并而已。

这个技巧来自

我们已经知道3行2列的矩阵，乘以2行4列的矩阵，结果就是一个3行4列的矩阵。现在，假如我想知道结果矩阵第2行第4列的结果值是什么？只要找出左矩阵的第二行，乘以右矩阵的第4列即可。即5*4+2*3=26。

这里以上面B站视频的分析，是这样计算的：

这与上面的计算技巧是一个意思，只不过现在一次性算出来三行。其实细看这三行，正是上面用到的第几行乘以第几列的技巧。