Question

∑anbn级数收敛的判别方法

Answer 1

通过AbelN.H判别法和Dirichlet.P.C.L判别法进行判别。
若1°数列a}单调有界;2级数b 收敛。则级数∑anbn收敛。 Dirichlet判别法表示为：若1°数列a}单调递减，且liman=0;2°级数b的部分和数列有界。则级数∑ab收敛。比较两个判别法不难发现:条件1(对数列(a的设定)前者弱后者强(收敛必有界);条件2则相反前者强后者弱(级数∑6收敛，其部分和数列必有界)，两个判别法的共同点在于，为保证级数》ab的收敛，对其通项ab分而治之，让数列(a和级数》b满足相对互补的条件。受这种思维方法和定理证明过程的启发，我们可以证明下面的结论，作为判定级数∑ab收敛的一个新方法。
命题若1°数列{an}有界;2°级数b收敛，且存在K>0使当n≥K时，b，不变号，则级数∑ab，收敛。证明由条件1，3M>0，对VnEN+，lanl≤M。V>0，由级数∑b收敛，依柯西则(必要性)3NN，对Vn≥N，VpEN，都有Ibn+1+bn+2+?+bn+pl